Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.
Sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades.
Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc. Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas: La técnica de la multiplicación, la técnica de la permutación, y la técnica de la combinación.
Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc. Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas: La técnica de la multiplicación, la técnica de la permutación, y la técnica de la combinación.
La Técnica de la Multiplicación
La técnica de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas
En términos de fórmula
Número total de arreglos = m x n
Esto puede ser extendidoa más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o:
Número total de arreglos = m x n x o
Ejemplo:
Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar.
La técnica de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas
En términos de fórmula
Número total de arreglos = m x n
Esto puede ser extendidoa más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o:
Número total de arreglos = m x n x o
Ejemplo:
Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar.
¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?
Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).
Número total de arreglos = 3 x 2
No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y rines en este ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con todas las posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación fácilmente realizamos el cálculo:
Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48
Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).
Número total de arreglos = 3 x 2
No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y rines en este ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con todas las posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación fácilmente realizamos el cálculo:
Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48
La Técnica de la Permutación
Como vimos anteriormente la técnica de la multiplicación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos para dos o más grupos. La técnica de la permutación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos donde hay solo u grupo de objetos. Como ilustración analizaremos el siguiente problema: Tres componentes electrónicos - un transistor, un capacitor, y un diodo - serán ensamblados en una tablilla de una televisión. Los componentes pueden ser ensamblados en cualquier orden. ¿De cuantas diferentes maneras pueden ser ensamblados los tres componentes?
Las diferentes maneras de ensamblar los componentes son llamadas permutaciones, y son las siguientes:
T D C D T C C D T
T C D D C T C T D
Permutación: Todos los arreglos de r objetos seleccionados de n objetos posibles
La fórmula empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es:
n P r = n! (n – r )!
Donde:
nPr es el número de permutaciones posible
n es el número total de objetos
r es el número de objetos utilizados en un mismo momento
n P r = n! = 3! = 3 x 2 = 6 (n – r )! ( 3 – 3 )! 1
Ejemplo:
Suponga que hay ocho tipos de computadora pero solo tres espacios disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios disponibles?
n P r = n! = 8! = 8! = 336
(n – r )! ( 8 – 3 )! 5!
En el análisis anterior los arreglos no presentan repeticiones, es decir, no hay dos espacios disponibles con el mismo tipo de computadora. Si en los arreglos se permite la repetición, la fórmula de permutaciones es la siguiente:
n Pr = nr
Para ilustrar el punto, queremos saber ¿cuántas series de 2 letras se pueden formar con las letras A, B, C, si se permite la repetición? Las permutaciones son las siguientes:
AA, AB, AC, BA, CA, BB, BC, CB, CC
Usando la fórmula:
n Pr = nr = 3P2 = 32 = 9
Como vimos anteriormente la técnica de la multiplicación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos para dos o más grupos. La técnica de la permutación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos donde hay solo u grupo de objetos. Como ilustración analizaremos el siguiente problema: Tres componentes electrónicos - un transistor, un capacitor, y un diodo - serán ensamblados en una tablilla de una televisión. Los componentes pueden ser ensamblados en cualquier orden. ¿De cuantas diferentes maneras pueden ser ensamblados los tres componentes?
Las diferentes maneras de ensamblar los componentes son llamadas permutaciones, y son las siguientes:
T D C D T C C D T
T C D D C T C T D
Permutación: Todos los arreglos de r objetos seleccionados de n objetos posibles
La fórmula empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es:
n P r = n! (n – r )!
Donde:
nPr es el número de permutaciones posible
n es el número total de objetos
r es el número de objetos utilizados en un mismo momento
n P r = n! = 3! = 3 x 2 = 6 (n – r )! ( 3 – 3 )! 1
Ejemplo:
Suponga que hay ocho tipos de computadora pero solo tres espacios disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios disponibles?
n P r = n! = 8! = 8! = 336
(n – r )! ( 8 – 3 )! 5!
En el análisis anterior los arreglos no presentan repeticiones, es decir, no hay dos espacios disponibles con el mismo tipo de computadora. Si en los arreglos se permite la repetición, la fórmula de permutaciones es la siguiente:
n Pr = nr
Para ilustrar el punto, queremos saber ¿cuántas series de 2 letras se pueden formar con las letras A, B, C, si se permite la repetición? Las permutaciones son las siguientes:
AA, AB, AC, BA, CA, BB, BC, CB, CC
Usando la fórmula:
n Pr = nr = 3P2 = 32 = 9
La Técnica de la Combinación
En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:
Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB
Combinaciones: AB, AC, BC
Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.
La fórmula de combinaciones es:
n C r = n!
r! (n – r )!
Ejemplo:
En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto?
Usando la fórmula de combinaciones:
n C r = n! = 7! = 7! = 35 r! (n – r )! 3! ( 7 – 3 )! 3! 4!
El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto.
En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:
Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB
Combinaciones: AB, AC, BC
Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.
La fórmula de combinaciones es:
n C r = n!
r! (n – r )!
Ejemplo:
En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto?
Usando la fórmula de combinaciones:
n C r = n! = 7! = 7! = 35 r! (n – r )! 3! ( 7 – 3 )! 3! 4!
El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto.
Problemas
1.- Juanita invito a sus amigos a cenar. Juanita tiene 10 amigos, pero solo tiene 6 lugares en la mesa.
a) ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados.
b) ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados.
c) Dos de sus amigos son un feliz matrimonio, Juanita decidió sentarlos a la mesa juntos. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados los demás.
d) ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados los demás.
e) Dos de sus amigos son enemigos, Juanita no los quiere sentar juntos a la mesa. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados los demás.
f) ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados los demás.
g) Los amigos de Juanita son 4 mujeres y 6 hombres. Juanita quiere que siempre haya 2 mujeres sentadas a la mesa. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados.
h) ¿Cuál es la probabilidad, si los selecciona al azar, de queden sentados a la mesa puros hombres?
i) ¿Cuál es la probabilidad, si selecciona al azar 3 hombres y 3 mujeres, y asigna los lugares al azar también, queden sentados intercalados hombres y mujeres?
1.- Juanita invito a sus amigos a cenar. Juanita tiene 10 amigos, pero solo tiene 6 lugares en la mesa.
a) ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados.
b) ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados.
c) Dos de sus amigos son un feliz matrimonio, Juanita decidió sentarlos a la mesa juntos. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados los demás.
d) ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados los demás.
e) Dos de sus amigos son enemigos, Juanita no los quiere sentar juntos a la mesa. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados los demás.
f) ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados los demás.
g) Los amigos de Juanita son 4 mujeres y 6 hombres. Juanita quiere que siempre haya 2 mujeres sentadas a la mesa. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados.
h) ¿Cuál es la probabilidad, si los selecciona al azar, de queden sentados a la mesa puros hombres?
i) ¿Cuál es la probabilidad, si selecciona al azar 3 hombres y 3 mujeres, y asigna los lugares al azar también, queden sentados intercalados hombres y mujeres?
2.- En la escuela primaria Netzahualcoyotl imparte clase la maestra Bety. Ella es feliz enseñando al grupo de tercer grado, que está compuesto por 15 niñas y 12 niños. Bety propone a los niños formar una mesa directiva del grupo formada por cinco de ellos. La mesa directiva estaría formada por un presidente, un secretario, un tesorero, y dos vocales.
a) ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los puestos.
b) Bety piensa que como hay más niñas que niños la mesa directiva debe integrarse por 3 niñas y 2 niños. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los puestos.
c) La maestra Susana (la de cuarto) le sugiere que solo el puesto de presidente sea para niñas y los otros 4 puestos sean para niños. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los otros puestos.
d) El profesor de educación física ( Ramón ) dice que todos los puestos deben de ser para niños, pero podría dársele el puesto de secretaria a una niña. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si le importa como queden asignados los otros puestos.
e) En el grupo de tercer grado hay 4 reprobados (3 niños y una niña) y la maestra Bety decidió que ellos no pueden formar parte de la mesa directiva. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los puestos.
f) ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos los integrantes del grupo de tercer grado, quede integrada por puras niñas? Sin importar como queden asignados los puestos.
g) ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos los integrantes del grupo de tercer grado, quede integrada por puros niños? Sin importar como queden asignados los puestos.
h) ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos los integrantes del grupo de tercer grado, el presidente, secretario y tesorero sean niños y las dos vocales niñas? Sin importar como queden asignados los puestos.
a) ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los puestos.
b) Bety piensa que como hay más niñas que niños la mesa directiva debe integrarse por 3 niñas y 2 niños. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los puestos.
c) La maestra Susana (la de cuarto) le sugiere que solo el puesto de presidente sea para niñas y los otros 4 puestos sean para niños. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los otros puestos.
d) El profesor de educación física ( Ramón ) dice que todos los puestos deben de ser para niños, pero podría dársele el puesto de secretaria a una niña. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si le importa como queden asignados los otros puestos.
e) En el grupo de tercer grado hay 4 reprobados (3 niños y una niña) y la maestra Bety decidió que ellos no pueden formar parte de la mesa directiva. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los puestos.
f) ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos los integrantes del grupo de tercer grado, quede integrada por puras niñas? Sin importar como queden asignados los puestos.
g) ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos los integrantes del grupo de tercer grado, quede integrada por puros niños? Sin importar como queden asignados los puestos.
h) ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos los integrantes del grupo de tercer grado, el presidente, secretario y tesorero sean niños y las dos vocales niñas? Sin importar como queden asignados los puestos.
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