medidas de dispersion

Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto Desviación media y otra es tomando las desviaciones al cuadrado Varianza

El rango o recorrido estadístico es la diferencia entre el valor mínimo y el valor máximo en un grupo de números aleatorios. Se le suele simbolizar con R.

Requisitos del rango
Ordenamos los números según su tamaño.
Restamos el valor mínimo del valor máximo.

Ejemplo
Para una muestra (0, 45, 50, 55, 100), el dato menor es 0 y el dato mayor es 100 (Valor unitario inmediatamente posterior al dato mayor menos el dato menor). Sus valores se encuentran en un rango de:
Rango = (100-0) =100

Medio rango
El medio rango de un conjunto de valores numéricos es la media del menor y mayor valor, o la mitad del camino entre el dato de menor valor y el dato de mayor valor. En consecuencia el medio rango es:

Ejemplo
Para una muestra de valores (3, 3, 5, 6, 8), el dato de menor valor Min= 3 y el dato de mayor valor Max= 8. El medio rango resolviendolo mediante la correspondiente fórmula sería:
Representación del medio rango:

Varianza
La varianza, también denominada variancia (Aunque esta denominación es menos elegida) es una medida estadística que mide la dispersión de los valores respecto a un valor central (media), es decir, la media de las diferencias cuadráticas de las puntuaciones respecto a su media aritmética. Suele ser representada con la letra griega σ o una V en mayúscula.


Propiedades
La varianza es siempre positiva o 0:
Si a los datos de la distribución les sumamos una cantidad constante la varianza no se modifica.
Yi = Xi + k c
Si a los datos de la distribución les multiplicamos una constante, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de esa constante.
Propiedad distributiva: V(X + Y) = V(X) + V(Y)

Desviación típica
La variancia a veces no se interpreta claramente, ya que se mide en unidades cuadráticas. Para evitar ese problema se define otra medida de dispersión, que es la desviación típica, o desviación estándar, que se halla como la raíz cuadrada positiva de la varianza. La desviación típica informa sobre la dispersión de los datos respecto al valor de la media; cuanto mayor sea su valor, más dispersos estarán los datos. Esta medida viene representada en la mayoría de los casos por S, dado que es su inicial de su nominación en inglés.
Desviación típica muestral

Desviación típica poblacional

Ejemplo
Con Scilab este cálculo se hace de la siguiente manera:-->x= [17 14 2 5 8 7 6 8 5 4 3 15 9]
x =
17. 14. 2. 5. 8. 7. 6. 8. 5. 4. 3. 15. 9.
-->stdev(x)
ans =
4.716311
-->
Primero hemos declarado un vector con nombre X, donde introduzco los números de la serie. Luego con el comando stdev se hallará la desviación típica.

Covarianza
La covarianza entre dos variables es un estadístico resumen indicador de si las puntuaciones están relacionadas entre sí. La formulación clásica, se simboliza por la letra griega sigma (σ) cuando ha sido calculada en la población. Si se obtiene sobre una muestra, se designa por la letra

La formula suele aparecer expresada como:
Este tipo de estadístico puede utilizarse para medir el grado de relación de dos variables si ambas utilizan una escala de medida a nivel de intervalo/razón (variables cuantitativas).
La expresión se resuelve promediando el producto de las puntuaciones diferenciales por su tamaño muestral (n pares de puntuaciones, n-1 en su forma insesgada). Este estadístico, refleja la relación lineal que existe entre dos variables. El resultado numérico fluctua entre los rangos de +infinito a -infinito. Al no tener unos límites establecidos no puede determinarse el grado de relación lineal que existe entre las dos variables, solo es posible ver la tendencia.

Propiedades
El coeficiente de correlación, r, presenta valores entre –1 y +1.
Cuando r es próximo a 0, no hay correlación lineal entre las variables. La nube de puntos está muy dispersa o bien no forma una línea recta. No se puede trazar una recta de regresión.
Cuando r es cercano a +1, hay una buena correlación positiva entre las variables según un modelo lineal y la recta de regresión que se determine tendrá pendiente positiva, será creciente.
Cuando r es cercano a -1, hay una buena correlación negativa entre las variables según un modelo lineal y la recta de regresión que se determine tendrá pendiente negativa: es decreciente.

Técnicas de Conteo

Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.

Sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades.
Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc. Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas: La técnica de la multiplicación, la técnica de la permutación, y la técnica de la combinación.

La Técnica de la Multiplicación
La técnica de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas
En términos de fórmula
Número total de arreglos = m x n
Esto puede ser extendidoa más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o:
Número total de arreglos = m x n x o
Ejemplo:
Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar.

¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?
Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).
Número total de arreglos = 3 x 2
No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y rines en este ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con todas las posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación fácilmente realizamos el cálculo:
Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48

La Técnica de la Permutación
Como vimos anteriormente la técnica de la multiplicación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos para dos o más grupos. La técnica de la permutación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos donde hay solo u grupo de objetos. Como ilustración analizaremos el siguiente problema: Tres componentes electrónicos - un transistor, un capacitor, y un diodo - serán ensamblados en una tablilla de una televisión. Los componentes pueden ser ensamblados en cualquier orden. ¿De cuantas diferentes maneras pueden ser ensamblados los tres componentes?
Las diferentes maneras de ensamblar los componentes son llamadas permutaciones, y son las siguientes:
T D C D T C C D T
T C D D C T C T D
Permutación: Todos los arreglos de r objetos seleccionados de n objetos posibles
La fórmula empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es:
n P r = n! (n – r )!
Donde:
nPr es el número de permutaciones posible
n es el número total de objetos
r es el número de objetos utilizados en un mismo momento
n P r = n! = 3! = 3 x 2 = 6 (n – r )! ( 3 – 3 )! 1
Ejemplo:
Suponga que hay ocho tipos de computadora pero solo tres espacios disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios disponibles?
n P r = n! = 8! = 8! = 336
(n – r )! ( 8 – 3 )! 5!
En el análisis anterior los arreglos no presentan repeticiones, es decir, no hay dos espacios disponibles con el mismo tipo de computadora. Si en los arreglos se permite la repetición, la fórmula de permutaciones es la siguiente:
n Pr = nr
Para ilustrar el punto, queremos saber ¿cuántas series de 2 letras se pueden formar con las letras A, B, C, si se permite la repetición? Las permutaciones son las siguientes:
AA, AB, AC, BA, CA, BB, BC, CB, CC
Usando la fórmula:
n Pr = nr = 3P2 = 32 = 9

La Técnica de la Combinación
En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:
Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB
Combinaciones: AB, AC, BC
Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.
La fórmula de combinaciones es:
n C r = n!
r! (n – r )!
Ejemplo:
En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto?
Usando la fórmula de combinaciones:
n C r = n! = 7! = 7! = 35 r! (n – r )! 3! ( 7 – 3 )! 3! 4!
El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto.

Problemas
1.- Juanita invito a sus amigos a cenar. Juanita tiene 10 amigos, pero solo tiene 6 lugares en la mesa.
a) ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados.
b) ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados.
c) Dos de sus amigos son un feliz matrimonio, Juanita decidió sentarlos a la mesa juntos. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados los demás.
d) ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados los demás.
e) Dos de sus amigos son enemigos, Juanita no los quiere sentar juntos a la mesa. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados los demás.
f) ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados los demás.
g) Los amigos de Juanita son 4 mujeres y 6 hombres. Juanita quiere que siempre haya 2 mujeres sentadas a la mesa. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados.
h) ¿Cuál es la probabilidad, si los selecciona al azar, de queden sentados a la mesa puros hombres?
i) ¿Cuál es la probabilidad, si selecciona al azar 3 hombres y 3 mujeres, y asigna los lugares al azar también, queden sentados intercalados hombres y mujeres?

2.- En la escuela primaria Netzahualcoyotl imparte clase la maestra Bety. Ella es feliz enseñando al grupo de tercer grado, que está compuesto por 15 niñas y 12 niños. Bety propone a los niños formar una mesa directiva del grupo formada por cinco de ellos. La mesa directiva estaría formada por un presidente, un secretario, un tesorero, y dos vocales.
a) ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los puestos.
b) Bety piensa que como hay más niñas que niños la mesa directiva debe integrarse por 3 niñas y 2 niños. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los puestos.
c) La maestra Susana (la de cuarto) le sugiere que solo el puesto de presidente sea para niñas y los otros 4 puestos sean para niños. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los otros puestos.
d) El profesor de educación física ( Ramón ) dice que todos los puestos deben de ser para niños, pero podría dársele el puesto de secretaria a una niña. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si le importa como queden asignados los otros puestos.
e) En el grupo de tercer grado hay 4 reprobados (3 niños y una niña) y la maestra Bety decidió que ellos no pueden formar parte de la mesa directiva. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los puestos.
f) ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos los integrantes del grupo de tercer grado, quede integrada por puras niñas? Sin importar como queden asignados los puestos.
g) ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos los integrantes del grupo de tercer grado, quede integrada por puros niños? Sin importar como queden asignados los puestos.
h) ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos los integrantes del grupo de tercer grado, el presidente, secretario y tesorero sean niños y las dos vocales niñas? Sin importar como queden asignados los puestos.

DIAGRAMA DE ARBOL

Diagramas de árbol, es una herramienta gráfica para facilitar el calculo de probabilidades.
Para la elaboración de un diagrama de árbol se parte de un nodo o punto de comienzo del que sale una rama para cada caso que pueda suceder, cada rama tiene anotada su probabilidad.
Una rama puede ser un nuevo nodo del que partan nuevas ramas o ser un nodo final, lo que representa el principio de un experimento.
La resta de las probabilidades de las ramas que parten de un mismo resultado debe ser igual a 5.
Para el calculo de la probabilidad de un experimento, se determina el camino que se debe seguir en el árbol para desarrollarlo y se multiplica el valor de todas las probabilidades de las ramas por las que se recorre el camino.
La probabilidad de un suceso es la suma de todos los caminos que cumplen con el mismo.

EXPERIMENTO Y EVENTO

EXPERIMENTO

Un experimento, en estadística, es cualquier proceso que proporciona datos, numéricos o no numéricos.
Un conjunto cuyos elementos representan todos los posibles resultados de un experimento se llama espacio muestral y se representa como S. El espacio muestral de un experimento siempre existe y no es necesariamente único pues, dependiendo de nuestra valoración de los resultados, podemos construir diferentes espacios muestrales.
Los elementos del espacio muestral se llaman puntos muestrales y son los distintos resultados del experimento.
Si consideramos el conjunto de las partes de (P(S)) sus elementos son los sucesos. Un suceso, por tanto, es un subconjunto del espacio muestral.
Existen dos tipos de sucesos:
· Sucesos simples, que son aquellos que comprenden un sólo punto muestral.
· Sucesos compuestos, que son los que engloban más de un punto del espacio muestral. Todo suceso compuesto se puede considerar como unión de puntos del espacio muestral o unión de sucesos simples.

EVENTO

Un evento o suceso es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio.

Tipos de eventos

Evento o suceso elemental: Un suceso o evento elemental es un subconjunto del espacio muestral que contiene un único elemento.
Ejemplos de espacios muestrales y sucesos elementales:
Si se trata de contar objetos y el espacio muestral S = {0, 1, 2, 3, ...} (los números naturales), entonces los sucesos elementales son cada uno de los conjuntos {k}, donde k ∈ N.
Si se lanza una moneda dos veces, S = {cc, cs, sc, ss}, donde (c representa "sale cara" y s, "sale cruz"), los sucesos elementales son {cc}, {cs}, {sc} y {ss}.
Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida, S = (-∞, +∞), los números reales, los sucesos elementales son todos los conjuntos {x}, donde x ∈ .
Los sucesos elementales pueden tener probabilidades que son estrictamente mayores que cero, cero, no definidas o cualquier combinación de estas. Por ejemplo, la probabilidad de cualquier variable aleatoria discreta está determinada por las probabilidades asignadas a los sucesos elementales del experimento que determina la variable. Por otra parte, cualquier suceso elemental tiene probabilidad cero en cualquier variable aleatoria continua. Existen distribuciones mixtas que no son completamente continuas, ni completamente discretas, entre las que pueden darse ambas situaciones.

probabilidad

PROBABILIDAD

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.


La probabilidad constituye un importante parametro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.
Existen dos aplicaciones principales de la teoría de la probabilidad en el día a día son en el análisis de riesgo y en el comercio de los mercados de materias primas. Los gobiernos normalmente aplican métodos probabilísticos en regulación ambiental donde se les llama "análisis de vías de dispersión", y a menudo miden el bienestar usando métodos que son estocásticos por naturaleza, y escogen qué proyectos emprender basándose en análisis estadísticos de su probable efecto en la población como un conjunto.

La probabilidad matemática tiene sus orígenes en los juegos de azar, principalmente los juegos con dados y cartas, muy populares desde tiempos antiguos. Los primeros estudios “científicos” sobre fenómenos aleatorios se centraban en dos problemas:

1. Contabilizar el número de posibles resultados de lanzar un dado varias veces.
2. Distribuir las ganancias entre jugadores cuando el juego se interrumpía antes de finalizar, conocido como el ‘problema del reparto de apuestas’.



El desarrollo de la teoría de la probabilidad experimentó un gran avance en Francia a mediados del siglo XVII con la correspondencia que mantuvieron Blaise Pascal (1623–1662) y Pierre de Fermat (1601-1665) durante 1654. Antoine Gombaud, caballero de Méré, filósofo y literato que jugaba compulsivamente, pidió a Pascal que le resolviese el problema del reparto de apuestas. Pascal y Fermat lo resolvieron correctamente por medios diferentes pero equivalentes, aunque el desconocimiento de la teoría general les hizo pensar que no lo eran.


Existen 3 tipos de probabilidad:
1) PROBABILIDAD CLÁSICA: Supone que todos los números tienen igual probabilidad de salir en una determinada tirada.
Se calcula dividiendo el número o la cantidad de números que elijamos sobre la cantidad total de números; es decir, por ejemplo, si queremos saber cuántas probabilidades tenemos de que salga un número par al tirar un dado, calcularemos de la siguiente manera: un dado tiene 6 caras, y los números pares son 3 (2,4 y 6). O sea, 3/6= 50% de probabilidades de obtener un número par.
2) PROBABILIDAD ESTADÍSTICA: Se utiliza este tipo de probabilidad cuando la posibilidad que salga un determinado número no es igualmente probable en todos los casos. Lo mejor, en estos casos, es anotar en cada tirada qué número sale e ir formándonos mentalmente un espectro de posibilidades que salgan con mayor frecuencia.
Si observáramos un dado cargado, por ejemplo, y lo estudiásemos, podríamos darnos cuanta de tal factor al ver que la posibilidad de que salga un 5 es de 7/10 en vez de 1/6, como sucedería si el dado fuese normal.
3) PROBABILIDAD INDUCTIVA: En toda tirada, existe cierto grado de credibilidad y verosimilitud que los estudiosos de la materia atribuyen a ciertas leyes y a ciertas teorías. Esta probabilidad se utiliza cuando no conocemos la naturaleza de lo que estamos observando, y cuando nuestra observación se vuelve insuficiente como para llegar a poder formular una ecuación valedera.
Por ejemplo, un estudioso de los astros, basándose en todos sus conocimientos sobre la ciencia, la astronomía y las matemáticas, puede llegar a concluir que la existencia de los agujeros negros es más probable que su inexistencia. Podemos aplicar esta probabilidad en el casino basándonos en una mezcla exacta de observación, deducción e instinto.

EJERCICIOS:


1.-Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen. ¿De cuantas maneras puede elegirlas? ¿Y si las 4 primeras son obligatorias?

Solucion

El orden en que elija las preguntas, que además no podrán repetirse, es irrelevante. Así, puede elegir las preguntas de C10;7 = 10¢9¢8= (3 ¢ 2) = 120 maneras.

Por otra parte, si las 4 primeras son obligatorias, debe escoger 3 preguntas entre las 6 restantes para completar las 7 necesarias, resultando un total de C6;3 = 6 ¢ 5 ¢ 4= (3 ¢ 2) = 20 maneras.

2.- Si se arrojan d dados y m monedas, ¿cuántos resultados diferentes se pueden distinguir?

Solución

Suponiendo que los dados son distintos y las monedas son distintas:

Para el caso de los d dados (un dado tiene 6 resultados posibles), puesto que se distinguen los dados entre si, y en una tirada puede obtenerse el mismo resultado en varios dados, hay un total de
V R6;d = 6d resultados distintos para los dados.

Procediendo de forma análoga para las m monedas, se obtienen V R2;m = 2m resultados distintos para las monedas.

Se concluye así que hay un total de 6d ¢ 2m resultados diferentes. Suponiendo que los dados son iguales y las monedas son iguales:

El número de resultados que se pueden obtener al arrojar los d dados, teniendo en cuenta que ´estos son indistinguibles y puede repetirse el mismo resultado en varios de ellos, es CR6;d = C6+d¡1;d = Cd+5;d:

Además, para las m monedas, hay un total de CR2;m = C2+m¡1;m = Cm+1;m = m + 1 resultados. Por lo tanto, hay Cd+5;d ¢ (m + 1) resultados diferentes.

ejercicios par resolver

1. Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas:
1 Comida Favorita.

2 Profesión que te gusta.

3 Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada.
4 Número de alumnos de tu Instituto.

5 El color de los ojos de tus compañeros de clase.

6 Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.

2. De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales continuas.

1 Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.

2Temperaturas registradas cada hora en un observatorio.

3 Período de duración de un automóvil.

4 El diámetro de las ruedas de varios coches.

5 Número de hijos de 50 familias.

6 Censo anual de los españoles.

3. Clasificar las siguientes variables en cualitativas y cuantitativas discretas o continuas.

1 La nacionalidad de una persona.

2 Número de litros de agua contenidos en un depósito.

3 Número de libros en un estante de librería.

4 Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados.

5 La profesión de una persona.

6 El área de las distintas baldosas de un edificio.

4. Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido:

15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13.

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el polígono de frecuencias.

5. El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie:

3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1.

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.

6. Las calificaciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las siguientes:

5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7.
Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.

7. Los pesos de los 65 empleados de una fábrica vienen dados por la siguiente tabla:

tipos de graficas

GRAFICA DE BARRAS:
— Está constituida en dos ejes, (x, y).en la línea de las X se colocan los intervalos o categorías de la distribución de frecuencias y en las Y las frecuencias.la grafica de barras van separados los dos rectángulos porque hay diferencia entre los intervalos.
EJEMPLO: en un estudio realizado en un laboratorio sobre el color de algunos medicamentos se obtuvieron los datos siguientes, construye una grafica de barras.

intervalo frecuencia

rojo 5

azul 8
amarillo 4

verde 12

El histograma
— A diferencia de la grafica de barras los rectángulos se presentan sin dejar espacio en el eje de la Y se colocan las frecuencias y en el eje de las X se colocan los limites reales de clase.



intervalo frecuencia
62-64 8
60-62 4
58-60 9
56-58 16

La grafica de pastel o circulograma:
— consiste en la representación de un círculo dividido en partes por medio de trazados de radios y el circulo representa la suma de los conjuntos de la distribución de razones al 100% y cada porción o parte indica una razón de seres; su s formulas son:
— Angulo=360°xf/n es decir: Angulo=360° por la frecuencia entre el número total de datos.
— Y su porcentaje se obtiene de la frecuencia del intervalo por 100 entre el número total de datos, es decir: %= fx100/n
— Nota: se traza al contrario de las manecillas del reloj.
EJEMPLO: En una encuesta realizada para saber que paises son los mas poblados se obtuvieron los siguientes datos.


POLIGONO DE FRECUENCIAS:
— Es otro tipo de grafico para expresar datos; los intervalos se colocan en el eje X, y las frecuencias en el eje Y, para poder graficar se le aumenta un intervalo con frecuencia 0(cero)

GRAFICA DE LINEAS:
Es otro tipo de grafica la cual se traza como su nombre lo dice con líneas verticales los intervalos se colocan en el eje X, y las frecuencias en el eje Y; ejemplo: